【問題】
ATM（現金自動預払機）が１台ずつ設置してある二つの支店を統合し、統合後の支店にはATMを１台設置する。統合後のATMの背筋待ち時間を求める式はどれか。ここで、待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い、平均待ち時間にはサービス時間を含まず、ATMを１台に統合しても十分に処理できるものとする。
〔条件〕
（１） 統合後の平均サービス時間：Ts
（２） 統合前のATMの利用率：両支店ともρ
（３） 統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計
【選択肢】
2024年度（令和６年度）春期 高度試験午前Ⅰより引用
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【答え】
【解説】
M / M / 1 の待ち行列モデルの公式と、利用率の定義についての知識を問う問題です。
M / M / 1 の待ち行列モデルにおいて、利用率 ρ は下記になります。（到着率（一定時間内に到着する人の数）をλ、サービス率（一定時間内にサービスを完了する人の数）をμとします）
また、待ち時間は下記で計算できます。（待ち時間をTw、処理時間をTsとします）
問題では、
・２つの店舗にそれぞれ１台ずつあったATM、１つの店舗に１台だけにする
・統合後の利用者数は、２店舗の合計とする
ということなので、到着率λが2倍になって、サービス率μはそのままということです。そうなるとρは2倍になります。
よって、答えは、
です。
※なお、「M / M / 1 の待ち行列モデル」の詳しい解説は別記事をご参照ください。